问题

三个系学生共200名 (甲系100, 乙系60, 丙系 40 ), 代表 会议共20席, 按比例分配, 三个系分别为 10,6,4席。现因学生转系, 三系人数为 103,63,34, 问 20 席如何分配?若增加为21席，又如何分配?

模型1：比例加惯例

根据比例加惯例的分配方法可以得到下列席位分配：

系别 学生 比例 20 席的分配 21席的分配
人数 (%) 比例 结果 比例 结果
甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11
乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21

不过，这对丙系公平吗？

模型2：衡量公平分配的数量指标

假设有两方，其人数和席位如下:

\begin{equation} \begin{array}{c|c|c} & \text { 人数 } & \text { 席位 } \\ \hline \mathbf{A} \text { 方 } & p_{1} & n_{1} \\ \mathrm{~B} \text { 方 } & p_{2} & n_{2} \end{array} \end{equation}

当 $p_{1} / n_{1}=p_{2} / n_{2}$ 时, 分配公平 若 $p_{1} / n_{1}>p_{2} / n_{2}$, 对 $\mathrm{A}$ 不公平

我们可以称$p_{1} / n_{1}-p_{2} / n_{2}$为 对 $\mathrm{A}$ 的绝对不公平度。不过该指标也存在一些问题，例如：

$$\begin{array}{cc}p_{1}=150, n_{1}=10, p_{1} / n_{1}=15 & p_{1}=1050, n_{1}=10, p_{1} / n_{1}=105 \\ p_{2}=100, n_{2}=10, p_{2} / n_{2}=10 & p_{2}=1000, n_{2}=10, p_{2} / n_{2}=100 \\ p_{1} / n_{1}-p_{2} / n_{2}=5 & p_{1} / n_{1}-p_{2} / n_{2}=5\end{array}$$

虽二者的绝对不公平度相同,但后者对A的不公平 程度已大大降低!

模型3：将绝对度量改为相对度量

若 $p_{1} / n_{1}>p_{2} / n_{2}$, 定义$$\frac{p_{1} / n_{1}-p_{2} / n_{2}}{p_{2} / n_{2}}=r_{A}\left(n_{1}, n_{2}\right)$$为对$A$的相对不公平度，写为$r_A$。类似地可以定义对$B$的相对不公平度$r_B$。公平的分配方案应该使$r_A,r_B$尽量小。

现在将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即

设 $A, B$ 已分别有 $n_{1}, n_{2}$ 席, 若增加 1 席, 问应分给 $A$, 还是 $B$ 不妨设分配开始时 $p_{1} / n_{1}>p_{2} / n_{2}$, 即对 $\mathrm{A}$ 不公平。

应讨论以下几种情况 初始 $p_{1} / n_{1}>p_{2} / n_{2}$

若$r_{B}(n_{1}+1, n_{2}) < r_{A}(n_{1}, n_{2}+1)$, 则这席应给 A；

若$r_{B}(n_{1}+1, n_{2})>r_{A}(n_{1}, n_{2}+1)$, 则这席应给 B

当 $r_{B}(n_{1}+1, n_{2})<r_{A}(n_{1}, n_{2}+1)$, 该席给 $A$，由$r_{A}, r_{B}$ 的定义，得到 $$ \frac{p_{2}^{2}}{n_{2}(n_{2}+1)}<\frac{p_{1}^{2}}{n_{1}(n_{1}+1)} $$

这里定义：

$$ Q_{i}=\frac{p_{i}^{2}}{n_{i}\left(n_{i}+1\right)}, i=1,2 $$

该席给Q值较大的一方。推广到$m$方的席位分配，计算 $$ Q_{i}=\frac{p_{i}^{2}}{n_{i}\left(n_{i}+1\right)}, i=1,2,...,m $$ 该席给Q值较大的一方.

问题求解

三系用Q值方法重新分配 21个席位。按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系: $p_{1}=103, n_{1}=10$ 乙系: $p_{2}=63, n_{2}=6$ 丙系: $p_{3}=34, n_{3}=3$。

第20席： $$ Q_{1}=\frac{103^{2}}{10 \times 11}=96.4, Q_{2}=\frac{63^{2}}{6 \times 7}=94.5, Q_{3}=\frac{34^{2}}{3 \times 4}=96.3 $$

$Q_1$最大，第20席给甲系. 第21席: $$ Q_{1}=\frac{103^{2}}{11 \times 12}=80.4, Q_{2}, Q_{3} \text { 同上 } $$

$Q_3$最大，第21席给丙系.最终甲系11席，乙系6席，丙系4席。

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